vadda (vadda) wrote,
vadda
vadda

Кэтлин Оллереншоу не скрывает, что на вступительных экзаменах в Оксфорд она сжульничала. Благодаря тому, что ей удалось провести экзаментаров, Кэтлин получила право продолжить образование в одном из самых престижных университетов Англии. Конечно, ей пришлось труднее, чем другим студентам - Кэтлин потеряла слух в возрасте восьми лет. При поступлении в Оксфорд она угадала единственный устный вопрос экзаменатора ("Расскажи, как ты провела лето"), что и позволило ей поступить в Соммервилльский колледж Оксфорда.

В 1920 году, когда Кэтлин в результате вирусной инфекции потеряла слух, еще не существовало надежных слуховых аппаратов, поэтому девочке пришлось научиться читать по губам. Свой первый слуховой аппарат она получила в 1949 году. Кэтлин вела бурную общественную жизнь - она была членом городского совета в Рашолме в течение 26 лет, лорд-мэром Манчестера, была советником по образованию в правительстве Маргарет Тэтчер и членом ученого совета в нескольких университетах, основала музыкальную школу и обсерваторию (передав обсерватории в дар свой личный телескоп). В 1971 году леди Кэтлин был пожалован рыцарский титул за заслуги в области образования. В возрасте 85 лет леди Кэтлин опубликовала в соавторстве с Дэвидом Бри монографию с доказательством одной из самых сложных задач комбинаторики о пандиагональных магических квадратах. Сейчас Кэтлин 94 года, в прошлом году в свет вышла ее автобиография.

Ниже приводится рецензия на книгу Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри, написанная Мартином Гарднером и опубликованная в журнале Nature, 17 сентября 1998 года. Перевод на русский - мой (по просьбе уважаемого knop). Наличествуют три иллюстрации, общим размером около 100К.



Магические квадраты загнаны в угол.

Леди Кэтлин Оллереншоу (Kathleen Ollerenshaw) - национальное достояние Англии. Ей удалось решить очень старую и очень сложную задачу, касающуюся построения и перебора определенного вида магических квадратов. Это решение изложено в книге, написанной ей совместно с Дэвидом Бри (David Brée). Но сначала - несколько слов об истории магических квадратов и об иерархии их совершенности.

Магические квадраты на протяжение многих веков являлись своего рода вызовом для математиков, особенно тех, кто, был свазан с комбинаторикой. Магический квадрат - это совокупность n^2 уникальных целых чисел, помещенных в массив nхn таким образом, что каждая строка, колонка и главная диагональ имеют одинаковую сумму расположенных на них чисел. Эта сумма называется магической константой, а число n называют порядком квадрата. Традиционные магические квадраты состоят из последовательных целых чисел, начиная с 0 или 1. Последовательность начинающаяся с 0 может быть модифицирована в квадрат, чья последовательность начинается с 1; в этом случае число в каждой ячейке надо увеличить на 1.

Магических квадратов второго порядка не существует. Квадраты третьего порядка крайне малочисленны (рис. 1). Почему? Потому что существует всего восемь троек уникальных цифр от 1 до 9, которые в сумме дают 15 - константу квадрата. Каждая тройка представляет собой одну из восьми линий в квадрате. Этот шаблон уникален, за исключением незначительных его модификаций - вращений и зеркального отражения. Эта жемчужина комбинаторики была известна еще в древнем Китае и носила название "ло шу", что означает "Письмена реки Ло". Согласно легенде, в 23-м веке до нашей эры, мистический император Ю увидел этот рисунок на спине священной черепахи в реке Ло (современные историки не находят подтверждения того факта, что этот шаблон существовал до четвертого-пятого века до нашей эры). Китайцы отождествляют этот шаблон с символом Инь-Ян. Четные цифры (на темном фоне) связаны с темным Инем; греческий крест из нечетных цифр олицетворяет светлый Ян. Символ "ло шу" использовался как элемент ювелирных украшений и в качества орнамента в течение столетий. В наше время эти магические квадраты можно увидеть на палубах больших пассажирских судов, где их используют для игры в шаффлборд (род керлинга - прим. перев).

При переходе к четвертому порядку число магических квадратов вырастает до 880. Среди них особняком стоит набор из 48 квадратов, называемых пандиагональными, и обладающих тремя замечательными свойствами. Это проиллюстрировано на Рис.2; константа в данном случае равна 30. Во-первых, каждая прерванная диагональ в сумме также дает 30 (возьмите для примера последовательности 0, 3, 15, 12 и 7, 13, 8, 2). Это свойство можно описать по-другому : представьте бесконечный массив этих квадратов, расположенных вплотную друг другу и образующих узор на обоях. В результате каждый квадрат размером 4x4 будет являться пандиагональным магическим квадратом - другими словами, каждая прямая линия из четырех чисел будет давать в сумме 30. Второе свойство - каждый квадрат размером 2x2 на этих "обоях" будет в сумме давать 30. Третье - на каждой диагонали сумма двух ячеек, разделенных третьей ячейкой, будет равняться 15.

В общем случае магический квадрат называется пандиагональным, если все его прерванные диагонали дают в сумме магическию константу. Такие квадраты могут быть построены для любого нечетного порядка (выше третьего) и для любого четного порядка, кратного четырем. Пандиагональный квадрат называют "совершенным" ("most-perfect"), если его свойства совпадают со свойствами пандиагональных квадратов четвертого порядка. На Рис.3 приведен пример совершенного квадрата восьмого порядка : его магическая константа равна 252, его суб-квадраты размером 2x2 дают в сумме 126, любые две ячейки, находящиеся на расстоянии n/2=4 ячеек друг от друга дают в сумме n^2-1 = 63.

Хотя на протяжение трехсот лет было известно, что все пандиагонали четвертого порядка являются совершенными, квадраты более высоких порядков были изучены мало. Не существовало не только методики для построения всех возможных квадратов определенного порядка, но даже и способа определения числа таких квадратов.

Ответ на это дает новая книга Кэтлин Оллереншоу и Дэвида Бри. Авторы разработали метод, с помощью которого можно построить все совершенные квадраты любого порядка, а также определить их количество.

В отличие от обычных пандиагоналей, совершенных квадратов для нечетных порядков не существует; таким образом единственно возможными являются порядки, кратные четырем. С каждым переходом на новый порядок, число принципиально различных совершенных квадратов быстро растет : 49 квадратов для размерности 4x4, 368640 квадратов восьмого порядка, 2.22953х10^10 квадратов двенадцатого порядка. Для размерности 36х36 количество совершенных квадратов составляет 2.767542х10^44 - число, примерно в тысячу раз большее количества пико-пикосекунд, прошедших с момента Большого Взрыва.

Решение этой задачи (одной из самых безнадежных в области магических квадратов) было бы значительным достижением для математика любого возраста. В случае леди Кэтлин это достижение еще более значительное. Ей, к моменту завершения совместной с Дэвидон работы над гипотезой (сформулированной леди Кэтлин много лет назад), исполнилось 85 лет. По ее собственным словам : "Самым волшебным математическим откровением из тех, что мне посчастливилось испытать, для меня останется то, с каким изяществом каждое последуюшее применение свойств биноминальных коэффициентов, характеризуюшее паскалевские треугольники, привело к окончательному решению задачи. То, что подобное стало возможным для человека, последние 40 лет не занимающегося активно математикой (с небольшими исключениями), послужит, надеюсь, вдохновением для других. Радость открытия - привилегия не только молодых."

10,61 КБ

14,84 КБ

50,54 КБ
Tags: great people, science, translated
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 8 comments